锁相环(PLL)非线性分析基础：相位检测器和VCO建模
2025-11-13 08:09:13 EETOP锁相环 （PLL）是一种负反馈系统，能够跟踪输入信号的载波分量的相位和频率。此功能使PLL可用于对具有抑制载波的AM信号进行同步解调等。在 FM 系统中，与其他选项相比，基于 PLL 的解调器通常具有卓越的噪声性能，尤其是在嘈杂的信道中。PLL还用于频率合成，并作为众多数字解调器的核心组件。
为了清楚地了解 PLL 的运行，我们需要为系统构建一个数学模型。在本文中，我们将重点介绍模拟 PLL 的非线性模型，这是探讨 PLL作要点的新系列的第一篇。在此过程中，我们还将开发乘法器相位检测器和压控振荡器 （VCO） 的模型。本次讨论将为本系列的下一篇文章奠定基础，该文章将研究一阶PLL在采集模式下的行为。
φ1是第一个输入的相位
φ2是第二个输入的相位
kd是以 V/rad 为单位的鉴相器增益。
从公式 1 中，我们看到理想的鉴相器将具有线性响应。实用的相位检测器通常表现出循环重复的非线性输入输出特性。然而，我们可以假设环路锁定点周围的窄相位范围内存在线性关系。相位检测器的增益可以定义为此时特性的斜率。
有几种不同的方法来实现相位检测器。在输入和VCO输出都是正弦波的PLL中，最常用的鉴相器是模拟乘法器，后跟低通滤波器。这种排列如图 2 所示。
通常，吉尔伯特单元用于实现模拟乘法器。
考虑应用两个频率相同的正弦曲线 （ωc）但与上述电路的相位不同，定义为：
因此，对于给定的相位差，鉴相器的输出是一个直流项。
检相器输出随相位差呈正弦变化，如图3所示。
图 3 乘法器鉴相器的输出
假设环路增益足够大，当鉴相器输出为零时，锁相环（PLL）锁定。因此，对于乘法器鉴相器，当锁相环输入与压控振荡器（VCO）输出的相位差为 90 度时，环路实现锁定。正因如此，乘法器鉴相器常被称为正交鉴相器。
对式（4）关于相位差（Δϕ）求导，可得到鉴相器增益：
需注意，鉴相器增益是相位差的函数。当Δϕ=0 时，增益为零；当环路在 Δϕ=90 度（π/2 弧度）处锁定时，鉴相器增益达到最大值：
在任意 2π 区间内，存在两个不同的相位角可使鉴相器输出为零。例如，在–π 至 π 区间内，输出在–π/2 和 π/2 处均为零。核心问题在于：环路会锁定到这两个点中的哪一个？是否有可能在两个点都实现锁定？
要回答这些问题，需明确输入 - 输出特性的增益（或斜率）在一个点为正，在另一个点为负。根据锁相环反馈路径中其他组件的增益符号，其中一个点会形成负反馈系统，而另一个点会形成正反馈系统。
锁相环将锁定到与负反馈系统相关的点，另一个点则处于亚稳态，因此锁相环不会锁定到该点。
由上述分析可知，锁定状态下，乘法器鉴相器会使输入与压控振荡器输出之间产生 90 度相位差。考虑到这一点，我们在建立乘法器鉴相器模型时可简化符号。若锁相环输入表示为：
根据这一新定义，当锁相环锁定时，相位角 ϕ₁和 ϕ₂相等。将 v₁与 v₂相乘并滤除倍频分量后，得到鉴相器输出：
基于上式，可建立乘法器鉴相器模型，如图 4 所示。
图 4 乘法器鉴相器模型
该鉴相器模型作用于输入相位角（ϕ₁和 ϕ₂）而非输入信号（v₁和 v₂）。若已知工作频率（ω_c），则通过 ϕ₁和 ϕ₂可完全确定输入信号。
该模型已考虑前文讨论的标称 90 度相位差，因此锁定状态下满足 ϕ₁=ϕ₂。
由式（9）可知，鉴相器增益是输入信号幅度（A₁）的函数。因此，设计锁相环时需了解随时间变化的输入信号电平。为解决这一问题，可在锁相环输入端采用硬限幅器。
有时我们会在上述模型中加入额外增益因子，以计入乘法器电路和 / 或后续低通滤波器的增益。
要分析锁相环，还需建立压控振荡器模型。压控振荡器的输出频率与其自由振荡频率（ω_c）的差值，与压控振荡器的控制电压（v_cont）成正比。数学上，输出频率可表示为：
其中，k_vco 为压控振荡器增益系数，单位为弧度 / 秒 / 伏特 (rad/sV)。该单位适用于锁相环计算，因其与单位为V/rad的鉴相器增益兼容。
式（10）给出了压控振荡器的瞬时频率。频率是相位的时间导数，因此对式（10）积分可得到总相位，即压控振荡器输出正弦信号的辐角：
分析锁相环时，我们仅关注辐角的第二项，即多余相位。这与前文鉴相器建模的讨论一致—— 鉴相器作用于输入信号的相位角。压控振荡器输出的多余相位 (ϕex) 为：
基于上式，可建立压控振荡器的时域模型，如图 5 所示。
图 5 压控振荡器模型
需注意，输入为电压，而输出为相位量。一个关键细节是，压控振荡器的频率随输入控制电压几乎瞬时变化（见式 10），但其输出相位涉及积分运算（式 12），因此会保留历史值。
对式（12）进行拉普拉斯变换，可得到压控振荡器在频域的传递函数：
现已建立乘法器鉴相器和压控振荡器的模型，将二者结合可推导完整的锁相环系统模型（图 6）。
