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一个长度为N的信号，最多只能有N/2+1个不同频率

已有 1886 次阅读| 2018-5-19 15:48 |系统分类:芯片设计

作者：Summer Fang
链接：https://www.zhihu.com/question/22616582/answer/22576840
来源：知乎
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从DFT定义入手（如何从傅里叶变换FT推导出离散傅里叶变换DFT各种相关书上都有），就是以下公式。

这是说DFT可以把长度为N的离散信号表示成从0~N-1，共N个复指数相加的形式。
根据欧拉公式：

上面的表达式可以写成N个cosx+isinx的形式

对于一个正弦或余弦函数，有相位、幅度和角频率三个参数可以考虑，这里只考虑角频率。
可以看到这里的角频率是2πn/N , 共有0， 2π/N， 2*2π/N，3*2π/N,..................(N-1)*2π/N，N*2π/N,共N种角频率。函数的自变量是离散的k。

然而 cos【 k*2π/N】和cos【k*(N-1)*2π/N 】角度相加为【2πk】
有 cos【k*2π/N】=cos【2πk-k*(N-1)*2π/N 】= cos【k*(N-1)*2π/N 】

所以如果N是偶数，上述的N种角频率中，除了0和2N*2π/N，其他的N-2种中有一半都相当于和另外一半的角频率是一样的。
所以总共一共有2+(N-2)/2即N/2+1种不同角频率。也就是N/2+1种不同频率。