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基本运算与函数

上一篇 / 下一篇  2009-06-05 19:09:29 / 个人分类:matlab基础知识

 

http://cs.nju.edu.cn/yangxc/dcc2003.files/matlab1/index.htm(摘自这个教案,有很多实例可供参考)

1-1、基本运算与函数

在MATLAB下进行基本数学运算,只需将运算式直接打入提示号(>>)之後,并按入Enter键即可。例如:

>>(5*2+1.3-0.8)*10/25

ans =

4.2000

MATLAB会将运算结果直接存入一变数ans,代表MATLAB运算後的答案(Answer),并显示其数值於萤幕上。(为简便起见,在下述各例中,我们不再印出MATLAB的提示号。)

小提示:
">>"是MATLAB的提示符号(Prompt),但在PC中文视窗系统下,由於编码方式不同,此提示符号常会消失不见,但这并不会影响到MATLAB的运算结果。

我们也可将上述运算式的结果设定给另一个变数x:

x = (5*2+1.3-0.8)*10^2/25

x =

42

此时MATLAB会直接显示x的值。由上例可知,MATLAB认识所有一般常用到的加(+)、减(-)、乘(*)、除(/)的数学运算符号,以及幂次运算(^)。

小提示:
MATLAB将所有变数均存成double的形式,所以不需经过变数宣告(Variable declaration)。MATLAB同时也会自动进行记忆体的使用和回收,而不必像C语言,必须由使用者一一指定。这些功能使的MATLAB易学易用,使用者可专心致力於撰写程式,而不必被软体枝节问题所干扰。

若不想让MATLAB每次都显示运算结果,只需在运算式最後加上分号(;)即可,如下例:

y = sin(10)*exp(-0.3*4^2);

若要显示变数y的值,直接键入y即可:

>>y

y =

-0.0045

在上例中,sin是正弦函数,exp是指数函数,这些都是MATLAB常用到的数学函数。下表即为MATLAB常用的基本数学函数及三角函数:

小整理:MATLAB常用的基本数学函数
abs(x):纯量的绝对值或向量的长度
angle(z):复数z的相角(Phase angle)
sqrt(x):开平方
real(z):复数z的实部
imag(z):复数z的虚部
conj(z):复数z的共轭复数
round(x):四舍五入至最近整数
fix(x):无论正负,舍去小数至最近整数
floor(x):地板函数,即舍去正小数至最近整数
ceil(x):天花板函数,即加入正小数至最近整数
rat(x):将实数x化为分数表示
rats(x):将实数x化为多项分数展开
sign(x):符号函数 (Signum function)。

当x<0时,sign(x)=-1;

当x=0时,sign(x)=0;

当x>0时,sign(x)=1。

rem(x,y):求x除以y的馀数
gcd(x,y):整数x和y的最大公因数
lcm(x,y):整数x和y的最小公倍数
exp(x):自然指数
pow2(x):2的指数
log(x):以e为底的对数,即自然对数或
log2(x):以2为底的对数
log10(x):以10为底的对数
小整理:MATLAB常用的三角函数
sin(x):正弦函数
cos(x):馀弦函数
tan(x):正切函数
asin(x):反正弦函数
acos(x):反馀弦函数
atan(x):反正切函数
atan2(x,y):四象限的反正切函数
sinh(x):超越正弦函数
cosh(x):超越馀弦函数
tanh(x):超越正切函数
asinh(x):反超越正弦函数
acosh(x):反超越馀弦函数
atanh(x):反超越正切函数

变数也可用来存放向量或矩阵,并进行各种运算,如下例的列向量(Row vector)运算:

x = [1 3 5 2];

y = 2*x+1

y =

3 7 11 5

小提示:变数命名的规则
  1. 第一个字母必须是英文字母
  2. 字母间不可留空格
  3. 最多只能有19个字母,MATLAB会忽略多馀字母

我们可以随意更改、增加或删除向量的元素:

y(3) = 2 % 更改第三个元素

y =

3 7 2 5

y(6) = 10 % 加入第六个元素

y =

3 7 2 5 0 10

y(4) = [] % 删除第四个元素,

y =

3 7 2 0 10

在上例中,MATLAB会忽略所有在百分比符号(%)之後的文字,因此百分比之後的文字均可视为程式的注解(Comments)。MATLAB亦可取出向量的一个元素或一部份来做运算:

x(2)*3+y(4) % 取出x的第二个元素和y的第四个元素来做运算

ans =

9

y(2:4)-1 % 取出y的第二至第四个元素来做运算

ans =

6 1 -1

在上例中,2:4代表一个由2、3、4组成的向量,同样的方法可用於产生公差为1的等差数列:

x = 7:16

x =

7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

若不希望公差为1,则可将所需公差直接至於4与13之间:

x = 7:3:16 % 公差为3的等差数列

x =

7 10 13 16

事实上,我们可利用linspace来产生任意的等差数列:

x = linspace(4, 10, 6) % 等差数列:首项为4,末项为10,项数为6

x =

4.0000 5.2000 6.4000 7.6000 8.8000 10.0000

若对MATLAB函数用法有疑问,可随时使用help来寻求线上支援(on-line help):

help linspace

LINSPACE Linearly spaced vector.

LINSPACE(x1, x2) generates a row vector of 100 linearly

equally spaced points between x1 and x2.

LINSPACE(x1, x2, N) generates N points between x1 and x2.

See also LOGSPACE, :.

小整理:MATLAB的查询命令
help:用来查询已知命令的用法。例如已知inv是用来计算反矩阵,键入help inv即可得知有关inv命令的用法。(键入help help则显示help的用法,请试看看!)
lookfor:用来寻找未知的命令。例如要寻找计算反矩阵的命令,可键入lookfor inverse,MATLAB即会列出所有和关键字inverse相关的指令。找到所需的命令後,即可用help进一步找出其用法。(lookfor事实上是对所有在搜寻路径下的M档案进行关键字对第一注解行的比对,详见後叙。)

将列向量转置(Transpose)後,即可得到行向量(Column vector):

z = x'

z =

4.0000

5.2000

6.4000

7.6000

8.8000

10.0000

不论是行向量或列向量,我们均可用相同的函数找出其元素个数、最大值、最小值等:

length(z) % z的元素个数

ans =

6

max(z) % z的最大值

ans =

10

min(z) % z的最小值

ans =

4

小整理:适用於向量的常用函数有:
min(x): 向量x的元素的最小值
max(x): 向量x的元素的最大值
mean(x): 向量x的元素的平均值
median(x): 向量x的元素的中位数
std(x): 向量x的元素的标准差
diff(x): 向量x的相邻元素的差
sort(x): 对向量x的元素进行排序(Sorting)
length(x): 向量x的元素个数
norm(x): 向量x的欧氏(Euclidean)长度
sum(x): 向量x的元素总和
prod(x): 向量x的元素总乘积
cumsum(x): 向量x的累计元素总和
cumprod(x): 向量x的累计元素总乘积
dot(x, y): 向量x和y的内积
cross(x, y): 向量x和y的外积
(大部份的向量函数也可适用於矩阵,详见下述。)

若要输入矩阵,则必须在每一列结尾加上分号(;),如下例:

A = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12];

A

A =

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

同样地,我们可以对矩阵进行各种处理:

A(2,3) = 5 % 改变位於第二列,第三行的元素值

A =

1 2 3 4

5 6 5 8

9 10 11 12

B = A(2,1:3) % 取出部份矩阵B

B =

5 6 5

A = [A B'] % B转置後以行向量并入A

A =

1 2 3 4 5

5 6 5 8 6

9 10 11 12 5

A(:, 2) = [] % 删除第二行(:代表所有列)

A =

1 3 4 5

5 5 8 6

9 11 12 5

A = [A; 4 3 2 1] % 加入第四列

A =

1 3 4 5

5 5 8 6

9 11 12 5

4 3 2 1

A([1 4], :) = [] % 删除第一和第四列(:代表所有行)

A =

5 5 8 6

9 11 12 5

这几种矩阵处理的方式可以相互叠代运用,产生各种意想不到的效果,就看各位的巧思和创意。

小提示:
在MATLAB的内部资料结构中,每一个矩阵都是一个以行为主(Column-oriented)的阵列(Array)因此对於矩阵元素的存取,我们可用一维或二维的索引(Index)来定址。举例来说,在上述矩阵A中,位於第二列、第三行的元素可写为A(2,3) (二维索引)或A(6)(一维索引,即将所有直行进行堆叠後的第六个元素)。

此外,若要重新安排矩阵的形状,可用reshape命令:

B = reshape(A, 4, 2) % 4是新矩阵的列数,2是新矩阵的行数

B =

5 8

9 12

5 6

11 5

小提示:
A(:)就是将矩阵A每一列堆叠起来,成为一个行向量,而这也是MATLAB变数的内部储存方式。以前例而言,reshape(A, 8, 1)A(:)同样都会产生一个8x1的矩阵。。

MATLAB可在同时执行数个命令,只要以逗号或分号将命令隔开:

x = sin(pi/3); y = x^2; z = y*10,

z =

7.5000

若一个数学运算是太长,可用三个句点将其延伸到下一行:

z = 10*sin(pi/3)* ...

sin(pi/3);


要检视现存於工作空间(Workspace)的变数,可键入who:

who

Your variables are:

testfile x

这些是由使用者定义的变数。若要知道这些变数的详细资料,可键入:

whos

Name Size Bytes Class

A 2x4 64 double array

B 4x2 64 double array

ans 1x1 8 double array

x 1x1 8 double array

y 1x1 8 double array

z 1x1 8 double array

Grand total is 20 elements using 160 bytes

使用clear可以删除工作空间的变数:

clear A

A

??? Undefined function or variable 'A'.

另外MATLAB有些永久常数(Permanent constants),虽然在工作空间中看不 到,但使用者可直接取用,例如:

pi

ans =

3.1416

下表即为MATLAB常用到的永久常数。

小整理:MATLAB的永久常数
i或j:基本虚数单位(即
eps:系统的浮点(Floating-point)精确度
inf:无限大, 例如1/0
nan或NaN:非数值(Not a number),例如0/0
pi:圆周率 p(= 3.1415926...)
realmax:系统所能表示的最大数值
realmin:系统所能表示的最小数值
nargin: 函数的输入引数个数
nargin: 函数的输出引数个数

1-2、重复命令

最简单的重复命令是for圈(for-loop),其基本形式为:

for 变数 = 矩阵;

运算式;

end

其中变数的值会被依次设定为矩阵的每一行,来执行介於for和end之间的运算式。因此,若无意外情况,运算式执行的次数会等於矩阵的行数。

举例来说,下列命令会产生一个长度为6的调和数列(Harmonic sequence):

x = zeros(1,6); % x是一个16的零矩阵

for i = 1:6,

x(i) = 1/i;

end

在上例中,矩阵x最初是一个16的零矩阵,在for圈中,变数i的值依次是1到6,因此矩阵x的第i个元素的值依次被设为1/i。我们可用分数来显示此数列:

format rat % 使用分数来表示数值

disp(x)

1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6

for圈可以是多层的,下例产生一个16的Hilbert矩阵h,其中为於第i列、第j行的元素为

h = zeros(6);

for i = 1:6,

for j = 1:6,

h(i,j) = 1/(i+j-1);

end

end

disp(h)

1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6

1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7

1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8

1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9

1/5 1/6 1/7 1/8 1/9 1/10

1/6 1/7 1/8 1/9 1/10 1/11

小提示:预先配置矩阵
在上面的例子,我们使用zeros来预先配置(Allocate)了一个适当大小的矩阵。若不预先配置矩阵,程式仍可执行,但此时MATLAB需要动态地增加(或减小)矩阵的大小,因而降低程式的执行效率。所以在使用一个矩阵时,若能在事前知道其大小,则最好先使用zeros或ones等命令来预先配置所需的记忆体(即矩阵)大小。

在下例中,for圈列出先前产生的Hilbert矩阵的每一行的平方和:

for i = h,

disp(norm(i)^2); % 印出每一行的平方和

end

1299/871

282/551

650/2343

524/2933

559/4431

831/8801

在上例中,每一次i的值就是矩阵h的一行,所以写出来的命令特别简洁。

令一个常用到的重复命令是while圈,其基本形式为:

while 条件式;

运算式;

end

也就是说,只要条件示成立,运算式就会一再被执行。例如先前产生调和数列的例子,我们可用while圈改写如下:

x = zeros(1,6); % x是一个16的零矩阵

i = 1;

while i <= 6,

x(i) = 1/i;

i = i+1;

end

format short

1-3、逻辑命令

最简单的逻辑命令是if, ..., end,其基本形式为:

if 条件式;

运算式;

end

if rand(1,1) > 0.5,

disp('Given random number is greater than 0.5.');

end

Given random number is greater than 0.5.




1-4、集合多个命令於一个M档案

若要一次执行大量的MATLAB命令,可将这些命令存放於一个副档名为m的档案,并在MATLAB提示号下键入此档案的主档名即可。此种包含MATLAB命令的档案都以m为副档名,因此通称M档案(M-files)。例如一个名为test.m的M档案,包含一连串的MATLAB命令,那麽只要直接键入test,即可执行其所包含的命令:

pwd % 显示现在的目录

ans =

D:\MATLAB5\bin

cd c:\data\mlbook % 进入test.m所在的目录

type test.m % 显示test.m的内容

% This is my first test M-file.

% Roger Jang, March 3, 1997

fprintf('Start of test.m!\n');

for i = 1:3,

fprintf('i = %d ---> i^3 = %d\n', i, i^3);

end

fprintf('End of test.m!\n');

test % 执行test.m

Start of test.m!

i = 1 ---> i^3 = 1

i = 2 ---> i^3 = 8

i = 3 ---> i^3 = 27

End of test.m!

小提示:第一注解行(H1 help line)
test.m的前两行是注解,可以使程式易於了解与管理。特别要说明的是,第一注解行通常用来简短说明此M档案的功能,以便lookfor能以关键字比对的方式来找出此M档案。举例来说,test.m的第一注解行包含test这个字,因此如果键入lookfor test,MATLAB即可列出所有在第一注解行包含test的M档案,因而test.m也会被列名在内。

严格来说,M档案可再细分为命令集(Scripts)及函数(Functions)。前述的test.m即为命令集,其效用和将命令逐一输入完全一样,因此若在命令集可以直接使用工作空间的变数,而且在命令集中设定的变数,也都在工作空间中看得到。函数则需要用到输入引数(Input arguments)和输出引数(Output arguments)来传递资讯,这就像是C语言的函数,或是FORTRAN语言的副程序(Subroutines)。举例来说,若要计算一个正整数的阶乘(Factorial),我们可以写一个如下的MATLAB函数并将之存档於fact.m:

function utput = fact(n)

% FACT Calculate factorial of a given positive integer.

output = 1;

for i = 1:n,

output = output*i;

end

其中fact是函数名,n是输入引数,output是输出引数,而i则是此函数用到的暂时变数。要使用此函数,直接键入函数名及适当输入引数值即可:

y = fact(5)

y =

120

(当然,在执行fact之前,你必须先进入fact.m所在的目录。)在执行fact(5)时,MATLAB会跳入一个下层的暂时工作空间(Temperary workspace),将变数n的值设定为5,然後进行各项函数的内部运算,所有内部运算所产生的变数(包含输入引数n、暂时变数i,以及输出引数output)都存在此暂时工作空间中。运算完毕後,MATLAB会将最後输出引数output的值设定给上层的变数y,并将清除此暂时工作空间及其所含的所有变数。换句话说,在呼叫函数时,你只能经由输入引数来控制函数的输入,经由输出引数来得到函数的输出,但所有的暂时变数都会随着函数的结束而消失,你并无法得到它们的值。

小提示:有关阶乘函数
前面(及後面)用到的阶乘函数只是纯粹用来说明MATLAB的函数观念。若实际要计算一个正整数n的阶乘(即n!)时,可直接写成prod(1:n),或是直接呼叫gamma函数:gamma(n-1)。

MATLAB的函数也可以是递式的(Recursive),也就是说,一个函数可以呼叫它本身。举例来说,n! = n*(n-1)!,因此前面的阶乘函数可以改成递式的写法:

function utput = fact(n)

% FACT Calculate factorial of a given positive integer recursively.

if n == 1, % Terminating condition

output = 1;

return;

end

output = n*fact(n-1);

在写一个递函数时,一定要包含结束条件(Terminating condition),否则此函数将会一再呼叫自己,永远不会停止,直到电脑的记忆体被耗尽为止。以上例而言,n==1即满足结束条件,此时我们直接将output设为1,而不再呼叫此函数本身。

1-5、搜寻路径

在前一节中,test.m所在的目录是d:\mlbook。如果不先进入这个目录,MATLAB就找不到你要执行的M档案。如果希望MATLAB不论在何处都能执行test.m,那麽就必须将d:\mlbook加入MATLAB的搜寻路径(Search path)上。要检视MATLAB的搜寻路径,键入path即可:

path

MATLABPATH

d:\matlab5\toolbox\matlab\general

d:\matlab5\toolbox\matlab\ops

d:\matlab5\toolbox\matlab\lang

d:\matlab5\toolbox\matlab\elmat

d:\matlab5\toolbox\matlab\elfun

d:\matlab5\toolbox\matlab\specfun

d:\matlab5\toolbox\matlab\matfun

d:\matlab5\toolbox\matlab\datafun

d:\matlab5\toolbox\matlab\polyfun

d:\matlab5\toolbox\matlab\funfun

d:\matlab5\toolbox\matlab\sparfun

d:\matlab5\toolbox\matlab\graph2d

d:\matlab5\toolbox\matlab\graph3d

d:\matlab5\toolbox\matlab\specgraph

d:\matlab5\toolbox\matlab\graphics

d:\matlab5\toolbox\matlab\uitools

d:\matlab5\toolbox\matlab\strfun

d:\matlab5\toolbox\matlab\iofun

d:\matlab5\toolbox\matlab\timefun

d:\matlab5\toolbox\matlab\datatypes

d:\matlab5\toolbox\matlab\dde

d:\matlab5\toolbox\matlab\demos

d:\matlab5\toolbox\tour

d:\matlab5\toolbox\simulink\simulink

d:\matlab5\toolbox\simulink\blocks

d:\matlab5\toolbox\simulink\simdemos

d:\matlab5\toolbox\simulink\dee

d:\matlab5\toolbox\local

此搜寻路径会依已安装的工具箱(Toolboxes)不同而有所不同。要查询某一命令是在搜寻路径的何处,可用which命令:

which expo

d:\matlab5\toolbox\matlab\demos\expo.m

很显然c:\data\mlbook并不在MATLAB的搜寻路径中,因此MATLAB找不到test.m这个M档案:

which test

c:\data\mlbook\test.m

要将d:\mlbook加入MATLAB的搜寻路径,还是使用path命令:

path(path, 'c:\data\mlbook');


此时d:\mlbook已加入MATLAB搜寻路径(键入path试看看),因此MATLAB已经"看"得到test.m:

which test

c:\data\mlbook\test.m

现在我们就可以直接键入test,而不必先进入test.m所在的目录。

小提示:如何在其启动MATLAB时,自动设定所需的搜寻路径?
如果在每一次启动MATLAB後,都要设定所需的搜寻路径,将是一件很麻烦的事。有两种方法,可以使MATLAB启动後,即可载入使用者定义的搜寻路径:
  1. MATLAB的预设搜寻路径是定义在matlabrc.m(在c:\matlab之下,或是其他安装MATLAB的主目录下),MATLAB每次启动後,即自动执行此档案。因此你可以直接修改matlabrc.m,以加入新的目录於搜寻路径之中。
  1. MATLAB在执行matlabrc.m时,同时也会在预设搜寻路径中寻找startup.m,若此档案存在,则执行其所含的命令。因此我们可将所有在MATLAB启动时必须执行的命令(包含更改搜寻路径的命令),放在此档案中。

每次MATLAB遇到一个命令(例如test)时,其处置程序为:

  1. 将test视为使用者定义的变数。
  2. 若test不是使用者定义的变数,将其视为永久常数。
  3. 若test不是永久常数,检查其是否为目前工作目录下的M档案。
  4. 若不是,则由搜寻路径寻找是否有test.m的档案。
  5. 若在搜寻路径中找不到,则MATLAB会发出哔哔声并印出错误讯息。

以下介绍与MATLAB搜寻路径相关的各项命令。

1-6、资料的储存与载入

有些计算旷日废时,那麽我们通常希望能将计算所得的储存在档案中,以便将来可进行其他处理。MATLAB储存变数的基本命令是save,在不加任何选项(Options)时,save会将变数以二进制(Binary)的方式储存至副档名为mat的档案,如下述:

  • save:将工作空间的所有变数储存到名为matlab.mat的二进制档案。
  • save filename:将工作空间的所有变数储存到名为filename.mat的二进制档案。
  • save filename x y z:将变数x、y、z储存到名为filename.mat的二进制档案。

以下为使用save命令的一个简例:

who % 列出工作空间的变数

Your variables are:

B h j y

ans i x z

save test B y % 将变数By储存至test.mat

dir % 列出现在目录中的档案

. 2plotxy.doc fact.m simulink.doc test.m ~$1basic.doc

.. 3plotxyz.doc first.doc temp.doc test.mat

1basic.doc book.dot go.m template.doc testfile.dat

delete test.mat % 删除test.mat

以二进制的方式储存变数,通常档案会比较小,而且在载入时速度较快,但是就无法用普通的文书软体(例如pe2或记事本)看到档案内容。若想看到档案内容,则必

须加上-ascii选项,详见下述:

  • save filename x -ascii:将变数x以八位数存到名为filename的ASCII档案。
  • save filename x -ascii -double:将变数x以十六位数存到名为filename的ASCII档案。

另一个选项是-tab,可将同一列相邻的数目以定位键(Tab)隔开。

小提示:二进制和ASCII档案的比较
在save命令使用-ascii选项後,会有下列现象:
  • save命令就不会在档案名称後加上mat的副档名。因此以副档名mat结尾的档案通常是MATLAB的二进位资料档。
  • 通常只储存一个变数。若在save命令列中加入多个变数,仍可执行,但所产生的档案则无法以简单的load命令载入。有关load命令的用法,详见下述。
  • 原有的变数名称消失。因此在将档案以load载入时,会取用档案名称为变数名称。
  • 对於复数,只能储存其实部,而虚部则会消失。
  • 对於相同的变数,ASCII档案通常比二进制档案大。

由上表可知,若非有特殊需要,我们应该尽量以二进制方式储存资料。

load命令可将档案载入以取得储存之变数:

  • load filename:load会寻找名称为filename.mat的档案,并以二进制格式载入。若找不到filename.mat,则寻找名称为filename的档案,并以ASCII格式载入。
  • load filename -ascii:load会寻找名称为filename的档案,并以ASCII格式载入。

若以ASCII格式载入,则变数名称即为档案名称(但不包含副档名)。若以二进制载入,则可保留原有的变数名称,如下例:

clear all; % 清除工作空间中的变数

x = 1:10;

save testfile.dat x -ascii % xASCII格式存至名为testfile.dat的档案

load testfile.dat % 载入testfile.dat

who % 列出工作空间中的变数

Your variables are:

testfile x

注意在上述过程中,由於是以ASCII格式储存与载入,所以产生了一个与档案名称相同的变数testfile,此变数的值和原变数x完全相同。

1-7、结束MATLAB

有三种方法可以结束MATLAB:

  1. 键入exit
  2. 键入quit
  3. 直接关闭MATLAB的命令视窗(Command window)

TAG: 函数 运算

 

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